ANALISI PROBABILISTICA DELLE "ROSE" DI CARPENE A SELLERO

                                  di

                            Adriano Gaspani



                              Introduzione

 Accade sovente che la disposizione delle coppelle che sono rilevabili sui
 massi e sulle roccie sembri essere, a prima vista, del tutto casuale.
 In altri casi invece la disposizione delle coppelle e' tale da suggerire la
 possibilita' che esse siano state, in origine, disposte deliberatamente
 secondo modelli regolari.
 In taluni casi addirittura si rileva uno sviluppo regolare lungo una o piu'
 direzioni privilegiate che in talvolta potrebbero coincidere con una o piu'
 direzioni astronomicamente significative.
 A meno dell'esistenza di fonti scritte, ogni valutazione relativamente alla
 possibile distribuzione spaziale viene usualmente fatta sulla base di
 criteri euristici o empirici.
 Lo scopo di questo lavoro e' quello di mettere a punto una metodologia
 oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di
 fornire almeno una valutazione empirica del grado di accuratezza con cui
 un'eventuale direzione, identificata dal suo azimut ripetto alla direzione
 nord del meridiano astronomico locale, sia stata codificata mediante la
 configurazione delle coppelle.
 Il secondo scopo sara' quello di fornire una valutazione della probabilita'
 che la direzione di sviluppo della configurazione sia casualmente in errore
 di un certo valore rispetto alla direzione vera che era richiesto di
 codificare realizzando quella configurazione.



                        Accuratezza e Precisione

 Iniziamo definendo i concetti di "accuratezza" e di "precisione" che sono di
 fondamentale importanza nel prosieguo del presente lavoro.
 Si definisce "precisione" il grado di addensamento di una serie di misure
 sperimentali intorno al valore medio della popolazione statistica da esse
 rappresentata.
 Nel caso presente la precisione e' legata alla distribuzione spaziale delle
 coppelle e al grado di entropia propria della loro configurazione.
 L'"accuratezza" e' invece il grado di approssimazione della media della
 popolazione statistica rispetto al valore vero della grandezza stimata
 mediante ripetute misure.
 Nel presente caso l'accuratezza sara' rappresentata da quanto l'azimut
 astronomico della direzione media di sviluppo della configurazione
 approssima l'azimut astronomico della direzione che la distribuzione delle
 coppelle aveva il compito di codificare quando fu tracciata sulla roccia.


                           Minimo inviluppo

 In prima approssimazione potremmo essere tentati di definire l'azimut
 astronomico della direzione presumibilmente codificata dalla "linea" di
 coppelle calcolando la retta dei minimi quadrati, o quella che minimizza
 qualcha altra conveniente funzione d'errore, del tipo:

                      Y = X tan(90-A*) + C                      

 dove X,Y sono le coordinate del centro di ciascuna coppella rispetto ad un
 sistema di assi coordinati in cui Y sia diretto positivamente a nord lungo
 la linea meridiana e X positivo coincida con la direzione orientale della
 linea equinoziale, A* e' l'azimut astronomico e C e' una costante.
 Il metodo potrebbe essere formalmente corretto, ma poiche' il numero di
 coppelle generalmente presenti lungo una "linea" e' basso, abbiamo problemi
 nella scelta della funzione densita' di probabilita' dalla quale derivare il
 criterio di ottimizzazione piu' adatto per calcolare i parametri della (1).
 Un secondo problema deriva dall fatto che il centro geometrico di ciascuna
 coppella non e' detto sia una buona stima della posizione originale della
 coppella sulla roccia
 Un valore approssimato dell angolo di azimut astronomico e comunque
 stimabile eseguendo alcune misurazioni di direzione mediante il teodolite o
 la bussola topografica con successiva calibrazione della direzione di
 riferimento mediante una linea di base ottenuta con grande accuratezza
 mediante rilevamento stellitare (GPS o GPS+GLONASS). 
 L'azimut astronomico cosi' ottenuto rimane sempre affetto da un'accuratezza
 relativamente scarsa anche se il grado di precisione potrebbe essere molto
 elevato, a causa di possibili deviazioni sistematiche che potrebbero
 derivare dal fatto che la configurazione delle coppelle e' generalmente di
 lunghezza limitata (meno di 1 metro) e che la direzione e' spesso marcata
 sulla roccia utilizzando un filo che approssimando l'andamento delle
 coppelle cerca di realizzare in qualche modo e secondo una valutazione
 visuale ed empirica, l'equazione (1).
 L'errore della direzione del filo rispetto a quella "vera" che aveva in
 origine l'obbiettivo di determinare una ristretta zona di orizzonte, per
 qualche verso interessante puo' essere stimato determinandone il suo limite
 superiore costruendo l'inviluppo rettangolare che pur essendo capace di
 racchiudere al suo interno tutte le coppelle che fanno parte della
 configurazione, possiede la minima area possibile.
 I lati del rettangolo saranno quindi A (lato lungo) e B (lato corto).
 Uno dei due assi dell'inviluppo rettangolare minimo sara' quindi la
 direzione di orientazione della configurazione.
 Appare evidente a questo punto lo stretto legame concettuale tra il minimo
 inviluppo rettangolare e il grado di "fuzziness" dell'allineamento definito
 dalla linea di coppelle.


                            Accuratezza Stimata

 L'accuratezza empirica stimata per l'orientazione della configurazione delle
 coppelle dipendera' strettamente dal rapporto B/A secondo la seguente
 relazione rigorosa:

                           e(A*) = atan(B/A)                        

 e se tale rapporto risulta minore o uguale ad 1/3, cosa che avviene
 praticamente nelle totalita' delle configurazioni orientate, e' facile
 ottenere una valutazione approssimata dell'accuratezza (in gradi):

                        e(A*) ~ 57.3 (B/A + ...)                  

 Il valore e(A*) rappresenta solamente una valutazione empirica
 dell'accuratezza con cui l'azimut misurato potrebbe approssimare il vero
 valore derivante dall'orientazione teorica della configurazione in fase di
 realizzazione, nei tempi antichi ed in nessun caso deve essere inteso come
 l'approssimazione raggiunta da chi incise le coppelle sulla pietra.
 Di fatto e(A*) rappresenta bene il grado di "fuzziness" che caratterizza
 l'allineamento della fila di coppelle e questo parametro rappresenta un
 elemento importante ai fini della valutazione del grado di accuratezza
 dell'azimut astronomico pertinente alla linea di coppelle.

 A questo punto si aprono due vie lungo cui indirizzare la presente analisi.
 La prima riguarda la pura e semplice valutazione dell'accuratezza che gli
 incisori delle coppelle raggiunsero nell'ipotesi che fosse loro intenzione
 realizzare un allineamento ben preciso, non necessariamente correlato con
 qualche oggetto astronomico, ma semplicemente con un punto posto lungo la
 direzione, nell'uno o nell'altro senso, materializzata dalla linea di
 coppelle.
 La seconda via e' quella che richiede di stimare il grado di probabilita che
 la linea di coppelle sia orientata verso una determinata direzione,
 solamente a causa di una combinazione di fattori casuali.
 Prenderemo in esame, una dopo l'altra, entrambe le problematiche.



                      Accuratezza e probabilita' 

 Per tentare una valutazione della possibile accuratezza raggiunta dagli
 autori della "linea" di coppelle bisogna ragionare in termini probabilistici
 tentando di dare una risposta alla seguente domanda.

 "Qual'e' la probabilita' che la configurazione delle coppelle indichi
 casualmente una direzione sbagliata di una quantita' Q rispetto all'azimut
 vero Ao qualora la valutazione dell'accuratezza empirica stimata sia e(A*)"

 Tentiamo di dare una ragionevole risposta a questa domanda.

 L'andamento della variabile casuale che approssima la distribuzione delle
 N(N-1) possibili direzioni ottenute congiungendo a 2 a 2 le N coppelle della
 configurazione puo' essere descritta da una distribuzione di Weibull con
 fattore di forma pari a 2, cioe' una distribuzione di Rayleigh, quindi la
 probabilita' che la "linea" di coppelle indichi casualmente una direzione
 con azimut diverso da quello vero di una differenza pari a Q, vale:

                                     2
                               -(Q/e)
                  P(.) =  1 - e                                   

 da cui si deduce che la deviazione Q rimarra' entro l'accuratezza e(A*)
 solamente con un livello di probabilita' pari al 63%, ma desiderando una
 stima maggiormente sicura del grado di accuratezza raggiunto dai costruttori
 della linea di coppelle dovremo selezionare valori di Q tali da raggiungre
 un grado di probabilita' piu' elevato, quindi Q potrebbe risultare
 sensibilmente maggiore di e(A*).


                    Significativita' e Probabilita'

 Prendiamo ora in esame la linea di coppelle la cui "fuzziness" R sia stata
 valutata mediante il metodo del minimo inviluppo rettangolare.
 Sara' quindi (in maniera rigorosa):

                            R = atan(B/A)                        

 in entrambe le direzioni.
 Di fatto R rappresenta l'ampiezza del settore di orizzonte in cui il fascio
 di N(N-1) direzioni individuate dalle N coppelle che compongono la linea, e'
 orientato.
 Definendo "p" la probabilita' che un allineamento definito da una qualsiasi
 combinazione delle coppelle che compongono la linea individui casualmente
 una ben precisa direzione astronomicamente significativa, con un grado di
 fuzziness pari a R (in gradi), potremo scrivere:

                             p = R/360

 Appare evidente che nel caso le coppelle siano distribuite in maniera
 completamente disordinata, il minimo inviluppo rettangolare tendera' alla
 forma quadrata con A=B, quindi la configurazione sara' casualmente 
 allineata con il 25% di probabilita' verso uno qualsiasi dei quattro settori
 in cui possiamo dividere il cerchio dell'orizzonte astronomico locale; di
 fatto non sara' allineata da nessuna parte.
 Al contrario se una linea di coppelle risultera' ben allineata, il rapporto
 B/A sara' piccolo quindi la probabilita' che la direzione individuata dalla
 linea sia stata raggiunta casualmente sara' molto ridotta e sara' possibile
 approssimarla mediante la semplice formula:

                        p ~ 0.16 (B/A + ...)                  

 Facciamo un esempio.
 La rosa di Carpene a Sellero in Valcamonica e' formata da due linee di 5
 coppelle ciascuna allineate lungo la direzione Nord-Sud ed Est-Ovest.
 La linea nord-sud e' racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari
 con dimensioni A=60 cm e B=5 cm.
 Il rapporto B/A vale 0.083 che conduce ad una "fuzziness" pari a 4.8 gradi;
 tale quindi sara' l'ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
 trovare il bersaglio dell'allineamento materializzato dalla linea di
 coppelle diretta approssimativamente lungo la linea meridiana.
 La probabilita' che la linea di coppelle abbia casualmente individuato quel
 ben preciso settore di orizzonte vale p=0.013, quindi poco piu' dell'1%.

 La linea est-ovest e' meglio allineata essendo racchiudibile in un inviluppo
 rettangolare minimo pari con dimensioni A=58.5 cm e B=3.5 cm.
 Il rapporto B/A vale 0.0598 che implica ad una "fuzziness" pari a 3.5 gradi;
 tale quindi sara' l'ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
 trovare il bersaglio dell'allineamento materializzato dalla linea di
 coppelle diretta rozzamente lungo la linea equinoziale.
 La probabilita' che la linea di coppelle est-ovest abbia casualmente
 individuato quel ben preciso settore di orizzonte vale p=0.009, quindi poco
 meno dell'1%.


                         Analisi globale

 Prendiamo ora in esame il caso in cui la configurazione presente sulla
 roccia preveda piu' di una linea di coppelle; nel caso della Rosa di Carpene
 abbiamo M=2 linee che si incrociano e che sono orientate circa
 ortogonalmente l'una rispetto all'altra.
 Facciamo dapprima l'ipotesi che le due linee siano indipendenti tra di loro
 quindi la probabilita' che entrambe le linee, nord-sud ed est-ovest, siano
 casualmente allineate verso i rispettivi settori di orizzonte e' il prodotto
 delle due probabilita' individuali, cioe':

                         P = p1 * p2

 che numericamente porta al valore P=0.00012 cioe' allo 0.12%.
 Esiste pero' il fatto che le due linee hanno in comune una coppella, quella
 centrale e che esiste l'incisione curvilinea che stabilisce il profilo della
 Rosa Camuna, fatti che ci indicano chiaramente che le due linee di coppelle
 non potevano assumere direzioni indipendenti tra loro, ma dovevano mantenere
 obbligatoriamente una configurazione a croce in modo da poter rappresentare
 la figura nota come "Rosa".
 In questo caso il calcolo della probabilita' che una figura quale quella
 della Rosa di Carpene possa essere orientata come la rileviamo, assumendo
 un grado di "fuzziness" pari a 4 gradi, solamente a causa di una
 combinazione di fattori casuali e' valutabile mediante la relazione:

                      P(random) = 0.0028 R S

 in cui S rappresenta il numero di simmetrie della configurazione.
 Nel caso della Rosa abbiamo R~4 gradi, mentre essendo una croce a 4 bracci,
 S=4.
 Il calcolo ci fornira' 1 probabilita' su 22.5, cioe' pari al 4.4%, che il
 petroglifo cosi' come e' stato rilevato sia posto casualmente con quella
 orientazione.
 A questo punto puo' essere utile ricordare che sulla grande roccia di
 Carpene sono incise altre due "rose" che risultano orientate in modo
 concorde con la "rosa grande".
 La tabella seguente riepiloga gli azimut astronomici di orientazione
 rilevati sulla roccia il 21 Giugno 2000.


      Riepilogo delle orientazioni dei bracci delle tre rose camune

         Azimut Astronomici (gradi) lungo le direzioni indicate

            S->N      N->S     E->W     W->E         Note

 Rosa A    352.5     172.5     276.1    96.1     Rosa grande
 Rosa B    359.6     179.6     270.8    90.8
 Rosa C    353.7     173.7     266.4    86.4

 Appare subito evidente che la concordanza tra gli azimut avviene entro un
 intervallo dai 7 ai 9 gradi circa.
 Assumiamo un grado di "fuzziness" media pari a 8 gradi e calcoliamo la
 probabilita' che le tre "rose" risultino casualmente orientate in maniera
 concorde entro un grado di "fuzziness" pari a R=8 gradi.
 Tale probabilita', essendo le tre "rose" dei petroglifi indipendenti l'uno
 dall'altro, sara' valutabile secondo la seguente relazione, in cui R=8
 gradi, S=4 (poiche' sono croci a 4 bracci) e n=3 (rose):

                                              n
                      P(random) = (0.0028 R S)

 Il calcolo fornisce: P(random)=0.0007 vale a dire 1 probabilita' su 1424 che
 le tre rose incise sulla grande roccia di Carpene siano orientate
 casualmente nel modo che e' stato rilevato, cioe' con una concordanza di 8
 gradi nella direzione dei loro assi.

 Va ora rilevato che le tre "rose" sono incise sulla stessa roccia a poca
 distanza l'una dall'altra, quindi potremmo anche ipotizzare che l'incisore
 di 2 dei 3 petroglifi si possa essere basato sull'orientazione di uno gia'
 tracciato precedentemente in loco.
 A questo punto il nostro problema diventa in termini statistici il seguente.

 <>.

 Riscriviamo ora il nostro problema in un linguaggio piu' appropriato alla
 situazione attuale:

 <>.

 La risposta a questa domanda e' immediata.
 Infatti la distribuzione di probabilita' che si adatta perfettamente a
 questa situazione e' quella di Bernoulli detta anche Binomiale:

                              x      (n-x)
               P(x) = C(n,x) p  (1-p)

 in cui C(n,x) e' il coefficiente binomiale:

                            n!
               C(n,x) = ---------
                        x! (n-x)!

 La media e la deviazione standard pertinenti a questa distribuzione di
 probabilita' sono i seguenti:

                     Media:  m = n p

                                           1/2
       Deviazione Standard:  s = (n p (1-p))

 dove: p = 0.0028 R S.

 A questo punto, essendo le "rose" in numero di 3, abbiamo che la
 distribuzione Binomiale ha media m=0.27 e deviazione standard pari a 0.49,
 inoltre sono possibili tre casi:

 a) una sola delle 3 rose e' orientata casualmente verso la direzione
    rilevata, con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
    In questo caso: p=0.09, n=3 e x=1, allora P(1)=0.22, vale a dire che
    abbiamo il 22% di probabilita' che una delle tre "rose" sia orientata a
    caso in maniera concorde con le altre due.

 b) 2 delle 3 rose sono orientate casualmente verso la direzione rilevata,
    con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
    In questo caso: p=0.09, n=3 e x=2, allora P(1)=0.022, vale a dire che
    abbiamo il 2.2% di probabilita' che 2 delle 3 "rose" siano casualmante
    orientate in maniera concorde tra loro e con la terza.

 c) Tutte le 3 rose sono orientate casualmente verso la direzione rilevata,
    con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
    In questo caso: p=0.09, n=3 e x=3, allora P(1)=0.0007, che e' il valore
    trovato in precedenza nel caso di tre petroglifi indipendentemente
    orientati, vale a dire 1 su 1424.

 Alla luce di questi risultati ci sentiamo autorizzati ad affermare che le
 tre "rose" incise sulla grande roccia di Carpene a Sellero non furono
 incise casualmente nel modo rilevato, ma con elevata probabilita'
 l'orientazione fu deliberatamente stabilita entro un margine di errore di
 8 gradi che potremmo inputare al grado di abilita' degli incisori oppure ad
 altri fattori di difficile quantificabilita'.
 
 
 

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