L'OBLIQUITA' DELL'ECLITTICA NELL'ANTICHITA'di Adriano Gaspani gaspani@brera.mi.astro.itIl moto apparente del SoleIl moto apparente del Sole nel cielo si compie sulla proiezione dell'orbita della Terra sulla sfera celeste. La proiezione sulla sfera celeste dell'orbita della Terra intorno al Sole e' un cerchio apparente denominato Eclittica. Essa viene percorsa dal Sole nel suo moto apparente durante l'anno. Il cerchio dell'Eclittica e' inclinato sull'equatore celeste di un certo angolo denominato "Obliquita' dell'Eclittica" ed indicato in questa sede con la lettera "e". Tale angolo rappresenta anche l'inclinazione dell'asse terrestre rispetto alla perpendicolare al piano dell'orbita della Terra intorno al Sole. Il suo valore oscilla ciclicamente tra i 22.5 e i 24.5 gradi con un periodo di circa 41000 anni. Il suo valore attuale (2000) e' 23 26' gradi ed esso decresce al ritmo di cira 47.11 secondi per secolo. Questo valore e' quello sperimentalmente osservato, ma la teoria, sviluppata da Newcomb nel 1906, Lieske nel 1970, Laubscher nel 1972, Laskar nel 1986 e altri prevede un valore piu' ridotto e cioe' 46.83 secondi per secolo. Lieske nel 1970 ha messo in evidenza che la discrepanza potrebbe essere dovuta ad errori di calcolo oppure ad errori di osservazione. Aoki nel 1969 suppose che una delle cause potesse essere il moto residuo della crosta terrestre che sbilancerebbe la Terra cambiandone la velocita' di variazione dell'inclinazione del suo asse. Attualmente la discrepanza non e' ancora stata spiegata in maniera soddisfacente.Misura sperimentale dell'obliquita' dell'eclitticaVari metodi sono applicabili con il fine ultimo di misurare sperimentalmente il valore dell'angolo di inclinazione dell'asse di rotazione della Terra. Varie misurazioni sono state eseguite sin dalla piu' remota antichita', la precisione ottenuta ovviamente rifletteva l'accuratezza della metodologia applicata. Nell'antichita' l'Obliquita' dell'Eclittica fu determinata sperimentalmente misurando la massima altezza del Sole sull'orizzonte durante i giorni di solstizio oppure misurando la lunghezza dell'ombra prodotta da uno gnomone infisso nel terreno al momento del passaggio al meridiano del Sole nei giorni di solstizio. In pratica si trattava di misurare la minima lunghezza raggiunta dalla ombra dello gnomone durante la giornata del solstizi estivo e invernale. Le date di solstizio potevano essere facilmente determinate mediante l'osservazione del Sole al suo sorgere o al suo tramontare cercando di determinare il punto sull'orizzonte in cui esso sorgeva o tramontava con il massimo angolo di azimut. Addizionalmente doveva essere nota l'altezza sull'orizzonte raggiunta durante la notte dal punto corrispondente al Polo Nord Celeste, quindi mediante semplici calcoli (semplici per gli astronomi moderni, ma non cosi' semplici per gli uomini dell'Eneolitico e dell'Eta' del Bronzo) era possibile ottenere il valore dell'Obliquita' dell'Eclittica. In termini matematici moderni si puo' scrivere la seguente relazione trigonometrica:tan(e) = - cotan(hp) cos(Ho)dove "e" e' l'obliquita' dell'eclittica, "hp" e' l'altezza del Polo Nord Celeste sull'orizzonte e "Ho" e' l'angolo orario del centro del disco solare all'istante del sorgere o del tramonto nei giorni dei solstizi. Questo metodo seppur apparentemente semplice e alla portata sia dei Greci, ii quali avevano compilato tavole della funzione Tangente, che probabilmente dei Druidi Celtici i quali, come testimoniano varie fonti greche e romane, erano perfettemente al corrente delle conoscenze scientifiche che venivano diffuse nel mondo greco, e' poco probabile sia mai stato veramente applicato nell'antichita'. Infatti la misura dell'angolo orario Ho presuppone la disponibilita' di un buon orologio oppure la capacita' di misurare un angolo sul cerchio dell'Equatore Celeste invece che sull'orizzonte come era d'uso fare allora. E' pur vero che le declinazioni delle stelle erano correntemente misurate in eta' ellenistica, cioe' altezze delle stelle rispetto all'equatore celeste, quindi concettualmente la misura dell'angolo orario poteva essere formalmente eseguita o ottenuta per differenza tra due valori di longitudine celeste (misurata sull'Equatore, non sull'Eclittica), quella del Sole mentre sorgeva e quella di una stella che passasse al meridiano in quel momento. Il metodo sembra comunque essere piuttosto difficoltoso e poco applicabile per quei tempi. E' necessario allora introdurre qualcosa di concettualmente piu' semplice. Un altro semplicissimo, ma ingegnoso metodo e' il seguente il quale permette di misurare simultaneamente sia la latitudine L dell osservatore sia l'Obliquita' dell'Eclittica. Se indichiamo con Hw l'altezza massima raggiunta dal Sole al mezzogiono vero del giorno del solstizio d'inverno e con Hs la massima altezza raggiunta dal Sole nel giorno di solstizio d'estate sara' possibile determinare simultaneamente sia la latitudine L dell'osservatore sia l'Obliquita' "e" dell'Eclittica mediante questi semplici calcoli:1 L = 90 - - (Hw + Hs) gradi 21 e = - (Hs - Hw) gradi 2Questo ultimo metodo e' estrememente semplice e sicuramente fu alla portata degli astronomi antichi i quali erano in grado di determinare le date di solstizio dalla massima e minima elongazione del Sole sull'orizzonte locale alla levata o al tramonto. La massima altezza sull'orizzonte sud poteva essere determinata nel momento in cui l'ombra di uno gnomone, il quale poteva essere rappresentato da una asta di legno infissa nel suolo oppure da un menhir, assumeva la sua minima lunghezza durante la giornata. A questo punto e' necessario fare alcune considerazioni. Infatti i due metodi descritti in precedenza hanno entrambi il difetto di richiedere dei calcoli che, per quanto semplici essi siano, nessuno ci assicura che l'uomo preistorico o protostorico potesse essere in grado di eseguire. Inoltre non esiste una evidenza diretta che sul territorio europeo siano mai state tentate misure di questo genere, comunque ci risulta estremamente probabile che le massime e le minime altezza del Sole sull'orizzonte siano state correntemente misurate dai sacerdoti astronomi operanti durante le Eta' del Bronzo e del Ferro. Esistono peraltro documenti scritti che attestano che misure sperimentali dell'Obliquita' dell'Eclittica furono eseguite in Cina sin dal 1100 a.C. ed in Grecia sin dal 350 a.C. Infatti i documenti disponibili ci indicano che valutazioni di "e" non furono direttamente eseguite dai Greci, ma "e" puo' essere ricavato dai valori misurati della declinazione delle stelle effettivamente misurate. In ogni caso alcune valutazioni indirette dell'angolo di Obliquita' dell'Eclittica risalenti ad un periodo dell'Eta' del Ferro sono riportate nella seguente tabella.Valori dell'Obliquita' dell'Eclittica osservati fino al termine dell'Eta' del Ferro. ================================================================== Autore Anno Valore (gradi e decimali) ------------------------------------------------------------------Chou Li -1100 23.881 Pytheas -350 23.819 Timocari o Aristillo -290 23.767 Eratostene -250 23.856 Ipparco -150 23.858 Ipparco -128 23.634 (Valore rip. da Tolomeo) Ipparco -128 23.817 (Valore rip. da Ipparco) (Media Greci -114 23.7183) Liu Hsiang -30 23.745 -------------------------------------------------------------------Dopo un esame del problema un po' piu' approfondito, ci si accorge che se l'Obliquita' dell'Eclittica avrebbe potuto essere intesa dagli astronomi del Neolitico o dell'eta' del Bronzo anche in maniera del tutto diversa. Supponiamo di essere posizionati all'interno di un cromlech, cioe' un cerchio di pietre con al suo centro un menhir. Se misuriamo la minima lunghezza dell'ombra proiettata dal menhir durante i giorni di solstizio e segnamo sul terreno la posizione raggiunta dal suo estremo durante le due date potremo identificare due punti S e W. Il punto S sara' raggiunto al soltizio d'estate e il punto W sara' raggiunto al solstizio d'inverno. Il punto S distera' dal piede del menhir una lunghezza Ls e il punto W una lunghezza Lw. La direzione passante per i punti S e W sara' quella del meridiano locale astronomico, mentre la differenza tra le lunghezze Lw e Ls dipendera' dalla altezza del menhir, dalla latitudine dell'osservatore e dall'Obliquita' dell'Eclittica. Per un dato cromlech posizionato ad una certa latitudine geografica questa differenza dipendera' solamente dalla Obliquita' dell'Eclittica. Gli astronomi antichi non erano in grado di dare una misura angolare di "e", ma sicuramente potevano collegare la lunghezza B=(Lw-Ls) alla posizione media nel cielo del cammino del Sole durante l'anno, anzi e' possibile che essi potessero identificare proprio con questo valore la nozione di Obliquita' dell'Eclittica. La cosa interessante e' che piu' il menhir era alto e piu' grande era la lunghezza B e piu' era probabile accorgersi che tale valore non rimaneva costante nel tempo.Misure indirette di "e" durante l'Eta' del BronzoTutta un serie di misure ottenute indirettamente sono diventate disponibili studiando la disposizione dei monumenti megalitici presumibilmente destinati durante l'Eta' del Bronzo all'osservazione della Luna. Infatti come A. Thom mise in evidenza durante gli anni '60, esistono nelle Isole Britanniche alcuni siti di interesse archeoastronomico che contengono allineamenti diretti verso i punti dell'orizzonte in corrispondenza dei quali la Luna sorgeva o tramontava quando la sua declinazione era massima o minima. Le date in cui la declinazione lunare assume valori massimi o minimi sono detti, in analogia con quanto avviene per il Sole, "Lunistizi". In corrispondenza della data dei Lunistizi la declinazione Dl della Luna raggiunge i valori estremi:Dl = e + i + q (massima declinazione)Dl = e - i - q (minima declinazione)in cui: e = Obliquita' dell'Eclittica.i = Inclinazione dell'orbita lunare sull'Eclittica che conosciamo essere 5 gradi, 8 primi e 43 secondi.q = Ampiezza dell'oscillazione principale della inclinazione "i" (8'.7) che avviene con un periodo di 173.31 giorni.Secondo A.Thom in almeno 24 siti megalitici esistono allineamenti diretti verso punti dell'orizzonte in cui la Luna sorgeva durante particolari date. L'analisi dei siti ha permesso di determinare con precisione la declinazione del punti del cielo occupati dalla Luna al suo sorgere o al suo tramontare in corrispondenza dei quali erano diretti gli allineamenti trovati nei siti. Una volta note le declinazioni, i parametri "i", "q" e il semidiametro del apparente del disco lunare e' possibile ricavare per ciascun allineamento lunare presente in ciascun sito il valore dell'Obliquita' dell'Eclittica necessario affinche' ciascun allineamento sia valido. In questo caso abbiamo la possibilita' di ottenere 16 valori indipendenti di "e" in corrispondenza di vari siti. La tabella seguente mette in evidenza i risultati ottenuti da A.Thom sulla base dei 16 migliori allineamenti disponibili.=========================================== Sito "e" Sito -------------------------------------------A10/6 23.874 Stillaig H1/1 23.931 Callanish I H1/1 23.901 " H1/5 23.936 Callanish V H1/5 23.901 " P4/1 23.849 Lundin W9/7 23.899 Parc y Meirw A2/5 23.889 Kintraw A2/5 23.929 Kintraw H3/11 23.811 Leacach an H3/11 23.931 Tigh Chloiche L1/16 23.884 Blakeley Moss N1/1 23.861 Mid Clyth N1/1 23.881 " N1/1 23.949 " N1/1 23.899 " ----------------------------------------------La media dei valori elencati nella tabella fornisce: _ e = 23.895 +/- 0.036 gradiche puo' essere ritenuto come il valore dell'Obliquita' dell'Eclittica per un epoca intorno al 1700 a.C..Determinazioni di "e" ricavate da fonti GrecheEsistono anche altri metodi per determinare il valore della Obliquita' della Eclittica, basati per esempio sulla misura della longitudine eclittica delle stelle. Infatti note per una data stella le coordinate eclittiche, che qui indicheremo con "b" (latitudine) e "l" (longitudine), e la declinazione D allora il valore di "e" puo' essere ottenuto invertendo la seguente relazione matematica:sin(D) = cos(b) sin(l) sin(e) + sin(b) cos(e)Ovviamente questo metodo di calcolo puo' essere usato solamente da noi, ai nostri tempi, ma il fatto che gli antichi, in eta' storica, sviluppassero cataloghi di stelle in cui fossero elencate sia le coordinate eclittiche che quelle equatoriali per le stelle piu' luminose ci rende capaci oggi, mediante questo calcolo, di stimare il valore corrente di "e" per quei tempi. Gli astronomi greci compilarono tavole delle declinazioni delle stelle piu' luminose e parallelamente indicarono anche le coordinate eclittiche misurate. I reperti scritti sono giunti fino a noi quindi applicando il metodo qui descritto e' possibile calcolare il valore dell'Obliquita' dell'Eclittica per il periodo greco.Misure eseguite in epoca storicaLa misura dell'Obliquita' dell'Eclittica in maniera diretta fu comunque perfettamente alla portata degli antichi, lo testimoniano le numerose misure eseguite in Cina fino dal 1100 a.C. Durante il periodo storico successivo a quella data furono eseguite molte misure da parte dei Cinesi, dai Greci, degli Arabi e degli astronomi europei del medioevo e del rinascimento. Le misure continuarono con metodi molto piu' efficenti e perfezionati fino ai giorni nostri. La tabella deguent riassume una serie di osservazioni documentate da fonti scritte attendibili che si estendono dal 1100 a.C. fino al 1900 d.C.. Nella tabella sono riportati: il nome dell'autore che cita la misura, l'anno in cui essa e' stata eseguita e il valore di "e" ottenuto espresso in gradi e decimali.Valori dell'Obliquita' dell'Eclittica osservati durante i secoli ================================================================== Autore Anno Valore (gradi e decimali) ------------------------------------------------------------------Siti Megalitici -1700 23.895 (Thom) Chou Li -1100 23.881 Pytheas -350 23.819 Timocari o Aristillo -290 23.767 Eratostene -250 23.856 Ipparco -150 23.858 Ipparco -128 23.634 (Valore rip. da Tolomeo) Ipparco -128 23.817 (Valore rip. da Ipparco) (Media Greci -114 23.7183) Liu Hsiang -30 23.745 Chia Khuei 89 23.66 Tolomeo 137 23.728 Liu Hung e Tshai Yung 173 23.837 Liu Hung e Tshai Yung 173 23.689 Liu Hung e Tshai Yung 178 23.631 Tsu Chhung-Chih 450 23.636 Li Shun-Feng 630 23.661 al-Ma'mun 800 23.562 Hsu Ang 820 23.541 al-Ma'mun 830 23.564 Benu Musa 845 23.583 al-Battani 885 23.583 Pieng Kang 900 23.556 Ibn Corrah 911 23.558 Abdel ben Amajur 918 23.583 al-Sufi 965 23.6525 Abu Jaaffar al Chazzan 970 23.5833 al-Chojendi 994 23.5392 al-Buziani e Abu Hamed 999 23.5833 Ibn Junis 1003 23.5833 Abul Rihan 1007 23.5833 al-Biruni 1019 23.5833 al-Zarkali 1061 23.5583 Liu Hsiao-Jung 1140 23.5245 Moses ben-Maimon 1174 23.5000 al-Marrakusi 1240 23.5625 I. Ben Sid 1277 23.5414 Kuo Shou-Ching 1278 23.5367 Nassir Odin 1290 23.5000 G. de S.Cloud 1290 23.5667 Ibn al-Shatir 1363 23.5167 al-Sanjufini 1367 23.5417 Mirza Ulugh Beg 1436 23.5047 Walther 1490 23.4964 Tycho Brahe 1587 23.5067 Tycho Brahe 1590 23.4978 Riccioli 1646 23.5056 Boulliaud 1650 23.5333 Hevelius 1661 23.4861 Cassini 1672 23.4825 Flamsteed 1690 23.4835 Bianchini 1703 23.4764 Romer 1709 23.4797 de la Condamine 1737 23.4733 de Thury 1743 23.4764 le Monnier 1743 23.4761 Bradley 1750 23.4717 Lacaille 1750 23.4719 Mayer 1756 23.471111 Bessel 1800 23.465222 Peters 1800 23.465061 Leverrier 1850 23.458842 Hansen e Olufsen 1850 23.458728 Newcomb 1850 23.458800 van de Sande Bakhuyzen 1870 23.456111 Autori vari 1900 23.452174 ------------------------------------------------------------------La tabella ovviamente non riporta determinazioni o stime che possono essere avvenute in epoca megalitica europea in quanto mancano fonti scritte dirette.La determinazione empirica di "e"L'avere a disposizione un certo numero di valori storici della Obliquita' dell'Eclittica e' molto importante, come abbiamo visto in precedenza, in quanto ha permesso di mettere in evidenza piccole, ma ben determinate discrepanze, attualmente non ancora perfettamente spiegate, tra la teoria basata sulla meccanica celeste e i valori ottenuti sperimentalmente durante i secoli. Ovviamente la precisione con cui le determinazione storiche di "e" sono state eseguite e' di vari ordini di grandezza inferiore rispetto a quanto e' stato ottenuto in epoca piu' recente. Infatti analizzando i dati disponibili e sparsi tra il 1000 a.C. e il 800 d.C. e' possibile osservare che mediamente l'errore compiuto da parte degli antichi astronomi sulla determinazione del valore di "e" e' dell'ordine di 0.05 gradi. Le misure ottenute in questo periodo sono esclusivamente greche, babilonesi e soprattutto cinesi. Infatti dall'analisi di tutti i dati disponibili risulta che mediamente le incertezze con cui sono disponibili le misure sperimentali dell'Obliquita' dell'Eclittica attraverso i secoli possono essere riassunte nella seguente tabella.Incertezza sulla determinazione sperimentale dell'Obliquita' dell'Eclittica in passato ============================================== Periodo Storico Errore su "e" (Anni) (secondi d'arco) ---------------------------------------------- 1700 a.C. 130" 1100 a.C - 800 d.C 216" 800 d.C - 1749 d.C 36" 1749 d.C - 1900 d.C 0".18---------------------------------------------Cosa ci dice la Meccanica CelesteCome abbiamo visto in precedenza vari astronomi teorici si sono preoccupati di mettere a punto delle formule matematiche in grado di prevedere con buona approssimazione i valori di "e" net tempo. Tra questi possiamo citare Newcomb nel 1906, che ha ottenuto la seguente espressione:2 3 e(T) = 23 27'31".68 - 46".837 T -0".0085 T - 0".0017 Tin cui T e' il numero di secoli giuliani trascorsi dal 1850.0. Il modello di Newcomb funziona bene pero' solamente su un intervallo di 5 secoli centrato nell'anno 1850.0 L'estensione di questa approssimazione all'antichita' fornisce risultati erronei. La stessa ricalcolata per il 1900.0 diventa:2 3 e(T) = 23 27'08".26 - 46".844 T - 0".00595 T - 0".0017 Tma nuovamente si rivela completamente inaffidabile per i calcoli in epoca antica. Un'altra espressione simile e' quella di Wilkins, sviluppata nel 1960. Essa e':-2 -6 2 -7 3 e(T) = 23.452294 - 1.30125x10 T - 1.64x10 T - 5.03x10 Tin cui tutte le quantita' numeriche ivi rappresentate sono espresse in gradi e T e' il numero di secoli giuliani trascorsi dal 1900.0. Anche questo modello perde di validita' andando indietro nel tempo. Ad esempio gia' nel 1000 a.C. essa inizia ad avere un errore considerevole. Appare quindi necessario mettere a punto un modello che sia sufficentemente accurato e che sia in grado di determinare il valore dell'Obliquita' della Eclittica accurato su un lasso di tempo di almeno 20000 anni. In piu' sia i modelli di Newcomb che di Wilkins non sono periodici, mentre e' ben noto che l'oscillazione dell'inclinazione dell'asse terrestre lo e' con un periodo intorno ai 40000 anni.Applicazione delle Reti Neuronali ArtificialiA questo proposito e' stato possibile costruire un modello piu' adeguato per gli usi di tipo astro-archeologico il quale doveva avere le seguenti quattro caratteristiche: a) fornire risultati accettabili su almeno un lasso di tempo di 1 milione di anni, b) riflettere la natura periodica della oscillazione dell'asse terrestre, c) essere basato su dati sperimentali ottenuti durante i secoli, d) essere sufficentemente robusto da non farsi ingannare dalla scarsa precisione delle misure antiche. Tutti questi requisiti per essere soddisfatti richiedono l'uso di qualcosa di molto sofisticato e quindi e' stata messa a punto una rete neuronale artificiale di un tipo particolare, quelle cosiddette in gergo "a link funzionale" la quale e' stata addestrata sui dati sperimentali disponibili partendo dal 1700 a.C. fino all'anno 1900. La struttura della rete e' molto semplice: un neurone nello strato di input, due link funzionali intermedi e un neurone nello strato di output. I due links funzionali sono stati scelti in modo tale che corrispondessero alle funzioni seno e coseno in quanto e' stata imposta a priori la periodicita' della variazione di "e". Nonostante questa estrema semplicita' i risultati ottenuti sono stati molto positivi. Infatti la rete neuronale artificiale e' in grado di fornire una approssimazione del valore vero dell'angolo di Obliquita' dell'Eclittica accurata alle terza cifra decimale su un intervallo di oltre un milione di anni. Infatti l'errore quadratico medio ottenuto su tutti i 41000 anni risulta essere inferiore a 0.00012 gradi. Questo dispositivo e' molto utile dal punto di vista archeoastronomico in quanto permette di calcolare un valore abbastanza preciso dell'Obliquita' della Eclittica anche molto remoto nel tempo. Analizzando il modello messo a punto e' possibile assegnare un valore medio alla inclinazione dell'asse terrestre 23.49698 gradi e un ampiezza periodica di variazione pari 1.72 gradi. Infatti i pesi corrispondenti ai due links funzionali sono risultati essere rispettivamente 0.139028 (per il link coseno) e 0.848817 (per il link seno). Dalla combinazione dei due pesi risulta l'ampiezza di variazione riportata. L'angolo di Obliquita' dell'Eclittica tocchera' quindi i due valori estremi pari a 24.357 gradi e a 22.637 gradi durante ciascun ciclo di 41013 anni solari medi. Questo valore indichera' quindi il periodo con cui l'asse terrestre compie una oscillazione completa intorno alla sua direzione media. E' quindi possibile calcolare che il ritmo di variazione secolare dell'inclinazione dell'asse terrestre, cioe' la velocita' con cui essa cambia nel tempo, che risulta essere essa stessa una funzione dipendente dal tempo in maniera periodica con un ampiezza di circa 47".18. A questo punto risulta interessante interrogare le rete neuronale chiedendole di calcolare i valori dell'Obliquita' dell'Eclittica in corrispondenza delle date riportate in precedenza e relative alle eta' del Bronzo e del Ferro. La tabella seguente mette a confronto le misurazioni documentate dalle varie fonti antiche e i valori ottenuti mediante generalizzazione della rete neuronale.Valori dell'Obliquita' dell'Eclittica osservati durante l'Eta del Bronzo e l'Eta' del Ferro e corripondenti valori generalizzati dalla rete neurale ========================================================================== Autore Anno "e" Storico "e" Rete Neuronale --------------------------------------------------------------------------Astronomi Megalitici -1700 23.895 23.909 Chou Li -1100 23.881 23.838 Pytheas -350 23.819 23.745 Timocari o Aristillo -290 23.767 23.737 Eratostene -250 23.856 23.732 Ipparco -150 23.858 23.720 Ipparco -128 23.634 23.717 Ipparco -128 23.817 23.715 Media Greci -114 23.7183 23.7151 Liu Hsiang -30 23.745 23.704 ---------------------------------------------------------------------------Dal confronto tra i dati osservati e quelli ottenuti mediante la rete neuronale si osservano immediatamente alcuni fatti interessanti. Il piu' appariscente e' la discrepanza tra il due valori ricavati da Thom analizzando le strutture megalitiche presenti nelle isole britanniche. Infatti facendo ottimizzare alla rete neuronale l'epoca in cui "e" valeva 23.895 gradi, cioe' quanto ottenuto da A.Thom, si ottiene il 1580 a.C. E' possibile quindi che la datazione proposta da A. Thom per i siti megalitici da lui studiati fosse in errore di circa un secolo. Un altro interessante fatto riguarda la precisione delle misure ottenute dagli antichi. Infatti i dati riportati nella tabella mostrano che i due astronomi cinesi Chou Li e Liu Hsiang eseguirono le misure piu' accurate. Lo stesso ordine di accuratezza fu raggiunto da Aristillo e Timocari, ma tutti gli astronomi greci ebbero prestazione di gran lunga inferiori.
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