ALTEZZA E AZIMUT DI PRIMA VISIBILITA' DELLE STELLE
		                  di Adriano Gaspani

    
 Nel campo dell'Archeoastronomia la letteratura relativa all'esistenza
 vera o presunta, in taluni siti, di allineamenti diretti verso il punto
 di levata o di tramonto di oggetti astronomici e' abbondante.
 Capita spesso di leggere che talune linee di pietre o buche di palo
 sarebbero orientate verso il punto di sorgere o di tramonto del Sole,
 della Luna o di qualche stella luminosa in corrispondenza di qualche data
 o posizione particolare.
 Il Sole e la Luna sono astri molto luminosi che possono essere osservati
 non appena il loro lembo superiore fa capolino al limite dell'orizzonte
 locale apparente o di quello fisico se nel luogo considerato esistono
 dei rilievi che si elevano di alcuni gradi sopra l'orizzonte astronomico.
 Talvolta si legge anche di orientazioni stellari e generalmente nella
 letteratura viene preso in considerazione, dopo le debite correzioni
 per la rifrazione atmosferica, l'azimut di levata della stella
 all'orizzonte astronomico locale.
 In realta' un simile approccio non e' metodologicamente corretto in
 quanto non vengono quasi mai presi in considerazione gli effetti
 dell'estinzione atmosferica la quale gioca un ruolo determinante
 facendo si che la stella diventi visibile solamente quando la sua
 altezza rispetto all'orizzonte astronomico locale abbia gia' raggiunto
 un consistente valore, che chiameremo in questa sede "altezza di prima
 visibilita'", abbreviata in HPV.
 La HPV dipende grosso modo dalla trasparenza dell'atmosfera in prossimita'
 dell'orizzonte in direzione della stella che sorge e dalla sua magnitudine
 visuale apparente.
 In letteratura possiamo trovare il termine "angolo di estinzione" per
 designare HPV e qualche studio relativamente ad esso e' stato fatto in
 passato.
 L'archeoastronomo A. Thom (1967) propose una semplice regola messa a punto
 da O. Neugebauer sulla base di antiche osservazioni stellari registrate su
 tavolette babilonesi.
 La regola di Thom-Neugebauer ci dice che una stella di magnitudine visuale
 "m" diverra' visibile nel cielo mattutino ad un'altezza sull'orizzonte
 approssimativamente pari alla sua magnitudine visuale.
 In questo modo una stella di prima magnitudine diverra' visibile a 1 grado
 di altezza sull'orizzonte astronomico locale.
 Una di seconda magnitudine sara' visibile a due gradi e cosi via.
 Al tramonto le cose si invertono nel senso che la stella di seconda
 magnitudine sparira' al tramonto a due gradi dall'orizzonte, quella di
 prima grandezza ad un grado e cosi' via.
 La dipendenza di HPV dalla trasparenza atmosferica puo' essere tecnicamente
 quantificata mediante il coefficente di estinzione atmosferica K nella
 banda visuale ben noto a chi lavora nel campo della fotometria
 fotoelettrica.
 I fotometristi sanno determinare sperimentalmente notte per notte il valore
 di K, per le lunghezze d'onda di osservazione, ma volendo stimare l'azimut
 di prima visibilita' di una stella ad esempio 3000 anni fa, nessuna
 determinazione sperimentale e' ovviamente possibile.
 Gli effetti dell'estinzione atmosferica agiscono grosso modo sul cammino
 dei fotoni provenienti dalla stella attraverso tre differenti strati
 all'interno dell'atmosfera terrestre.
 Il primo strato importante e' quello della fascia di ozono a circa 20 Km
 di altezza dal suolo, il secondo e' quello che si stende a circa 8.2 Km
 di quota e contribuisce al cosiddetto "Rayleigh scattering" e il terzo
 e' lo strato degli aerosols, posizionato a circa 1500 metri di altezza
 e in cui possiamo trovare particelle di acqua nebulizzata, polveri portate
 dal vento, pollini degli alberi e altre particelle solide che interagiscono
 con la luce che giunge dalla stella.
 In letteratura e' possibile reperire alcuni modelli utili alla
 quantificazione degli effetti di estinzione attraverso i vari strati.
 Ad esempio Hayes e Latham (1975) si sono occupati di tutte e tre le zone,
 Bower e Ward (1982) si sono occupati dello strato di ozono e vari autori,
 tra i quali Shafer (1993) si sono occupati dello strato in cui predominano
 gli aerosols.
 Una formula rigorosa e chiusa per mettere in relazione "m" e "Kv" non
 esiste, ma esistono dati sperimentali e dati di simulazione al computer
 ottenuti da Schafer e Liller (1990) a cui e' possibile fare riferimento.
 Al fine di stabilire un algoritmo di calcolo pratico sufficentemente
 semplice risulta molto utile applicare una rete neuronale artificiale e
 addestrarla sui dati sperimentali disponibili sia derivanti dalle
 simulazioni che dalle osservazioni chiedendo ad essa di ottimizzare una
 forma funzionale approssimata, ma sufficentemente accurata. 
 Esaminando i modelli messi a punto da questi autori siamo in grado di
 estrarre le informazioni che ci permettono di mettere a punto la topologia
 iniziale (mesostruttura) della rete nuronale artificiale da addestrare
 in modo che l'approssimazione ottenuta permetta di predire con un buon
 margine di affidabilita' l'altezza di prima visibilita' delle stelle in
 funzione della loro magnitudine e di alcuni parametri atmosferici locali
 e dell'incertezza con cui la valutazione di HPV e' possibile.
 Nota HPV la sua conversione nell'"azimut di prima visibilita'" ad una data
 latitudine geografica diventa solamente una questione di semplice calcolo
 trigonometrico.
 Impiegando le funzioni che descrivono la "massa d'aria" pertinenti a
 ciascun strato, e' stato possibile mettere a punto un modello numerico
 capace di fornire la HPV di una stella in funzione della sua magnitudine
 visuale apparente, della latitudine geografica e della quota sul livello
 del mare del luogo e del tasso di umidita' relativa dell'aria.
 Il problema e' comunque mal determinato e il grado di incertezza insito
 in esso e' molto elevato, tale da richiedere l'utilizzo di particolari
 tecniche matematiche di valutazione quali sono le reti neuronali
 artificiali dette a Link Funzionale, sviluppate per la prima volta da
 Pao (1989) al fine di migliorare la potenza di calcolo delle reti neuronali
 artificiali, aumentandone la capacita' di approssimare il comportamento
 di sistemi nonlineari, diminuendone nel contempo il tempo richiesto dalla
 fase di apprendimento.
 Tornando al presente problema, la mesostruttura ritenuta piu' efficente
 per permettere alla rete neuronale artificiale di stimare HPV e' stata
 la seguente:
                  a(1)
  -1 o------------[>-----------------------------------+
                            ____                       |
              w(1)         |  1 |   c(1)               |
     +---------[>----------| x  |--[>-+                |
     |         :           |____|     |                |
     :  .      :             :   .    |                |
     | .       :             :    .  _|___           __|__
     |/        :             :     \| __  |   n(1)  | __  |
   m o--       :             :    --| >_  |----[>---| >_  |-----> HPV
     |\        :             :     /|_____|         |_____|
     :  .      :            _:__ .    |               |||
     |         :           |  5 |     |               |||  F{z}=max(Ho,z)
     +---------[>----------| x  |--[>-+               |||
              w(5)         |____|   c(5)              |||
                                                      |||
            b(1)                                      |||
   K o------[>----------------------------------------+||
                  r(1)                                 ||
  -1 o------------[>-----------------------------------+|
            ______                                      |
           |  1/2 |    u(1)                             |
   H o-----| x    |----[>-------------------------------+
           |______|
 Formata da una sottorete FLN a cinque link funzionali nonlineari piu' un
 elemento sommatore e da un neurone addizionale con attivazione a rampa
 capace di aggiungere gli effetti dovuti alla rifrazione atmosferica e
 alla quota del sito.
 La fase di apprendimento ha permesso di arrivare alla determinazioni
 del seguente insieme ottimale di pesi:
          a(1) = -2.01       n(1) = (K+0.35)   
          b(1) = 0.36        r(1) = R
          c(1) = 1.2         u(1) = -0.95
          c(2) = 0.36                         j
          c(3) = 0.072       w(j) = (K-0.4833)    (j=1,...,5)
          c(4) = 0.0108
          c(5) = 0.001296
 ottenuti minimizzando l'energia complessiva della rete.
 Il modello proposto e' quindi il seguente:
                                    _5_            j                1/2
  HPV = max{Ho, a(1)+ b(1) K + n(1) >__ c(j) w(j) m  - r(1) + u(1) H   }
                                    j=1
 in cui il peso sinaptico r(1) e' il contributo R della rifrazione
 atmosferica, calcolato analiticamente piu' avanti, H e' la quota
 del sito rispetto al livello del mare (in Km), K e' il coefficente di
 estinzione atmosferica che misura il cammino ottico totale verso lo zenith
 e che e' misurato in magnitudini per unita' di massa d'aria, Ho e'
 l'altezza apparente dell'orizzonte fisico rispetto a quello astronomico.
 Il contributo dovuto alla rifrazione astronomica puo' essere valutato 
 mediante la seguente relazione:
                                       
                       0.00467 P exp(-H/8.4)
              R = -----------------------------------
                  (273 + T) tan[Hm + 7.31/(Hm + 4.4)]
 in funzione della pressione atmosferica P (in millibar), della temperatura
 dell'aria T in oC, della quota dell'osservatore H (in Km) e dell'elevazione
 Hm che vale:
                                                (0.6 K + 0.29) m        1/2
  Hm = max{ Ho, -2.71 + 11.7 K + ( 2 K + 0.7) e                  -(H/Hp)  }
 che rappresenta l'altezza di prima visibilita', ottenuta trascurando la
 rifrazione atmosferica, in cui Hp=1.1 Km.
 Il coefficente di estinzione e' legato alla profondita' ottica "q" nel
 modo seguente:
                            K = 1.086 q
 e al grado di trasmissione atmosferica T come segue:
                          K = -2.5 Log(T)                       
 Il coefficente K dipende dalla lunghezza d'onda della luce incidente e
 dai materiali predominanti nei vari strati di atmosfera attraversati dalla
 luce della stella.
 Esso consta di tre distinte componenti, vale a dire a) una componente
 che dipende dalla scattering di Rayleigh (Kr) che puo' essere facilmente
 determinato in funzione della lunghezza d'onda (Wl) della luce incidente,
 della quota H dell'osservatore e dell'indice di rifrazione dell'aria
 secondo quanto indicato da Hayes and Latham (1975):  
 
                                     2  -H/Hr   4
                    Kr = 113700 (n-1)  e      Wl               
 
 che per le osservazioni visuali diventa (Wl=0.55 microns (V-band)):
 
                                      -H/Hr
                         Kr = 0.1066 e                          
 in cui Hr=8.2 Km
 La componente dovuta agli effetti dell'ozono stratosferico e' determinabile
 in base ala modello di Bower and Ward (1982):
               Ko = 0.031 + 0.0041 [ f cos(As) - cos(3 f) ]      
 dove "f" e' latitudine geografica del sito e As e' l'Ascensione Retta del
 Sole la quale codifica le variazioni stagionali dello strato di Ozono.
 L'ultima componente e'quella dipendente dal contenuto di aerosols nella
 bassa atmosfera.
 Questo e' di gran lunga il termine piu' difficoltoso da valutare in quanto
 dipende da numerosissimi fattori quali la concentrazione delle polveri, dei
 pollini degli alberi dispersi dal vento nell'atmosfera, dalle goccioline
 di acqua di mare nebulizzata nella bassa atmosfera e cosi' via.
 Al contrario di oggi l'inquinamento atmosferico puo' essere trascurato per
 quanto riguarda l'antichita'.
 Nonostante queste difficolta' e' possibile eseguire una stima conveniente
 anche di questo fattore:
                      1/3  -H/Ha                 4/3
   Ka = 0.12 (0.55/Wl)    e      [1 - 0.32/ln(S)]    [1 + 0.33 sin(As)]
 in cui S e' il grado di umidita' relativa dell'aria e "Ha" vale 1.5 Km.
 L'incertezza sulla valutazione di Ka puo' essere stimata mediante la
 seguente semplice approssimazione:
 
                     e[k(a)] = 0.01 + 0.4 Ka                  
 Il coefficente di estinzione totale K vale quindi approssimativamente:
                          K = Kr + Ko + Ka
 che tutto sommato rappresenta comunque un'approssimazione molto grossolana.
 L'azimut di prima visibilita', FVA, sara' facilmente determinato mediante
 la seguente relazione trigonometrica:

                           sin(D) - sin(f) sin(HPV)
             FVA = arccos{ ------------------------ }
                               cos(f) cos(HPV)
 dove D e' la declinazione della stella che sorge.
 L'Archeoastronomia si occupa prevalentemente di allineamenti diretti
 verso taluni punti dell'orizzonte, quindi gli oggetti celesti interessati
 hanno generalmente altezze molto ridotte, qualche grado al massimo.
 E' quindi facile rilevare che per astri bassi sull'orizzonte l'effetto
 dello strato di aerosols a 1.5 Km di altezza e' quello determinante e
 quindi il valore del coefficiente di estinzione generale K e'
 prevalentemente dominato dalle particelle solide disperse nell'atmosfera
 attraversata dai fotoni provenienti dall'astro che sta sorgendo o
 tramontando.
 L'intensita' di luminosita' di un astro osservato attraverso l'atmosfera
 e' esprimibile mediante la seguente relazione matemetica:
                                   - 0.4 Dm
                          I = Io 10
 In cui Io e' la luminosita' extraatmosfrica e Dm e' la perdita di
 magnitudine causata dell'estinzione.
 Per un astro molto basso sull'orizzonte, abbiamo una variazione della
 luminosita' apparente proporzionale grosso modo a"
                           -0.4 K X 
                         10
 con un valore di massa d'aria X~40.
 L'intensita' di luminosita' di un astro osservato molto basso
 sull'orizzonte e' quindi approssimativamente calcolabile mediante la
 seguente relazione matematica:
                                   -16 K
                          I = Io 10
 da cui appare chiaro che variando, ad esempio, K da 0.24 a 0.25 si
 ottengono variazioni di intensita' di luminosita' osservata visualmente
 dell'ordine del 45%, quindi la sorgente piu' consistente di "fuzziness"
 sulle altezze (e quindi sugli azimut) di prima e ultima visibilita'
 proviene proprio dall'incertezza relativa a quello che succede nei primi
 1500 metri di altezza dal suolo, dove il contributo degli aerosols e'
 dominante.

 Bibliografia
 Bower, F. A., Ward, R. B., 1982, "Stratospheric Ozone and Man", CRC Press.
 Hayes, D. S., Latham, D. W., 1975, Astrophys. J., Vol. 197, 593-601.
 Pao Y. H., 1989, "Adaptive Pattern Recognition and Neural Networks",
 Addison Wesley, Reading, MA.
 Shafer B. E., 1993, Vistas in Astronomy, Vol.36, pp. 311-361.
 Thom, A., 1967, "Megalithic Sites in Britain", Clarendon Press, Oxford.

 

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