ANALISI PROBABILISTICA DELLE "ROSE" DI CARPENE A SELLERO
di
Adriano Gaspani
Introduzione
Accade sovente che la disposizione delle coppelle che sono rilevabili sui
massi e sulle roccie sembri essere, a prima vista, del tutto casuale.
In altri casi invece la disposizione delle coppelle e' tale da suggerire la
possibilita' che esse siano state, in origine, disposte deliberatamente
secondo modelli regolari.
In taluni casi addirittura si rileva uno sviluppo regolare lungo una o piu'
direzioni privilegiate che in talvolta potrebbero coincidere con una o piu'
direzioni astronomicamente significative.
A meno dell'esistenza di fonti scritte, ogni valutazione relativamente alla
possibile distribuzione spaziale viene usualmente fatta sulla base di
criteri euristici o empirici.
Lo scopo di questo lavoro e' quello di mettere a punto una metodologia
oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di
fornire almeno una valutazione empirica del grado di accuratezza con cui
un'eventuale direzione, identificata dal suo azimut ripetto alla direzione
nord del meridiano astronomico locale, sia stata codificata mediante la
configurazione delle coppelle.
Il secondo scopo sara' quello di fornire una valutazione della probabilita'
che la direzione di sviluppo della configurazione sia casualmente in errore
di un certo valore rispetto alla direzione vera che era richiesto di
codificare realizzando quella configurazione.
Accuratezza e Precisione
Iniziamo definendo i concetti di "accuratezza" e di "precisione" che sono di
fondamentale importanza nel prosieguo del presente lavoro.
Si definisce "precisione" il grado di addensamento di una serie di misure
sperimentali intorno al valore medio della popolazione statistica da esse
rappresentata.
Nel caso presente la precisione e' legata alla distribuzione spaziale delle
coppelle e al grado di entropia propria della loro configurazione.
L'"accuratezza" e' invece il grado di approssimazione della media della
popolazione statistica rispetto al valore vero della grandezza stimata
mediante ripetute misure.
Nel presente caso l'accuratezza sara' rappresentata da quanto l'azimut
astronomico della direzione media di sviluppo della configurazione
approssima l'azimut astronomico della direzione che la distribuzione delle
coppelle aveva il compito di codificare quando fu tracciata sulla roccia.
Minimo inviluppo
In prima approssimazione potremmo essere tentati di definire l'azimut
astronomico della direzione presumibilmente codificata dalla "linea" di
coppelle calcolando la retta dei minimi quadrati, o quella che minimizza
qualcha altra conveniente funzione d'errore, del tipo:
Y = X tan(90-A*) + C
dove X,Y sono le coordinate del centro di ciascuna coppella rispetto ad un
sistema di assi coordinati in cui Y sia diretto positivamente a nord lungo
la linea meridiana e X positivo coincida con la direzione orientale della
linea equinoziale, A* e' l'azimut astronomico e C e' una costante.
Il metodo potrebbe essere formalmente corretto, ma poiche' il numero di
coppelle generalmente presenti lungo una "linea" e' basso, abbiamo problemi
nella scelta della funzione densita' di probabilita' dalla quale derivare il
criterio di ottimizzazione piu' adatto per calcolare i parametri della (1).
Un secondo problema deriva dall fatto che il centro geometrico di ciascuna
coppella non e' detto sia una buona stima della posizione originale della
coppella sulla roccia
Un valore approssimato dell angolo di azimut astronomico e comunque
stimabile eseguendo alcune misurazioni di direzione mediante il teodolite o
la bussola topografica con successiva calibrazione della direzione di
riferimento mediante una linea di base ottenuta con grande accuratezza
mediante rilevamento stellitare (GPS o GPS+GLONASS).
L'azimut astronomico cosi' ottenuto rimane sempre affetto da un'accuratezza
relativamente scarsa anche se il grado di precisione potrebbe essere molto
elevato, a causa di possibili deviazioni sistematiche che potrebbero
derivare dal fatto che la configurazione delle coppelle e' generalmente di
lunghezza limitata (meno di 1 metro) e che la direzione e' spesso marcata
sulla roccia utilizzando un filo che approssimando l'andamento delle
coppelle cerca di realizzare in qualche modo e secondo una valutazione
visuale ed empirica, l'equazione (1).
L'errore della direzione del filo rispetto a quella "vera" che aveva in
origine l'obbiettivo di determinare una ristretta zona di orizzonte, per
qualche verso interessante puo' essere stimato determinandone il suo limite
superiore costruendo l'inviluppo rettangolare che pur essendo capace di
racchiudere al suo interno tutte le coppelle che fanno parte della
configurazione, possiede la minima area possibile.
I lati del rettangolo saranno quindi A (lato lungo) e B (lato corto).
Uno dei due assi dell'inviluppo rettangolare minimo sara' quindi la
direzione di orientazione della configurazione.
Appare evidente a questo punto lo stretto legame concettuale tra il minimo
inviluppo rettangolare e il grado di "fuzziness" dell'allineamento definito
dalla linea di coppelle.
Accuratezza Stimata
L'accuratezza empirica stimata per l'orientazione della configurazione delle
coppelle dipendera' strettamente dal rapporto B/A secondo la seguente
relazione rigorosa:
e(A*) = atan(B/A)
e se tale rapporto risulta minore o uguale ad 1/3, cosa che avviene
praticamente nelle totalita' delle configurazioni orientate, e' facile
ottenere una valutazione approssimata dell'accuratezza (in gradi):
e(A*) ~ 57.3 (B/A + ...)
Il valore e(A*) rappresenta solamente una valutazione empirica
dell'accuratezza con cui l'azimut misurato potrebbe approssimare il vero
valore derivante dall'orientazione teorica della configurazione in fase di
realizzazione, nei tempi antichi ed in nessun caso deve essere inteso come
l'approssimazione raggiunta da chi incise le coppelle sulla pietra.
Di fatto e(A*) rappresenta bene il grado di "fuzziness" che caratterizza
l'allineamento della fila di coppelle e questo parametro rappresenta un
elemento importante ai fini della valutazione del grado di accuratezza
dell'azimut astronomico pertinente alla linea di coppelle.
A questo punto si aprono due vie lungo cui indirizzare la presente analisi.
La prima riguarda la pura e semplice valutazione dell'accuratezza che gli
incisori delle coppelle raggiunsero nell'ipotesi che fosse loro intenzione
realizzare un allineamento ben preciso, non necessariamente correlato con
qualche oggetto astronomico, ma semplicemente con un punto posto lungo la
direzione, nell'uno o nell'altro senso, materializzata dalla linea di
coppelle.
La seconda via e' quella che richiede di stimare il grado di probabilita che
la linea di coppelle sia orientata verso una determinata direzione,
solamente a causa di una combinazione di fattori casuali.
Prenderemo in esame, una dopo l'altra, entrambe le problematiche.
Accuratezza e probabilita'
Per tentare una valutazione della possibile accuratezza raggiunta dagli
autori della "linea" di coppelle bisogna ragionare in termini probabilistici
tentando di dare una risposta alla seguente domanda.
"Qual'e' la probabilita' che la configurazione delle coppelle indichi
casualmente una direzione sbagliata di una quantita' Q rispetto all'azimut
vero Ao qualora la valutazione dell'accuratezza empirica stimata sia e(A*)"
Tentiamo di dare una ragionevole risposta a questa domanda.
L'andamento della variabile casuale che approssima la distribuzione delle
N(N-1) possibili direzioni ottenute congiungendo a 2 a 2 le N coppelle della
configurazione puo' essere descritta da una distribuzione di Weibull con
fattore di forma pari a 2, cioe' una distribuzione di Rayleigh, quindi la
probabilita' che la "linea" di coppelle indichi casualmente una direzione
con azimut diverso da quello vero di una differenza pari a Q, vale:
2
-(Q/e)
P(.) = 1 - e
da cui si deduce che la deviazione Q rimarra' entro l'accuratezza e(A*)
solamente con un livello di probabilita' pari al 63%, ma desiderando una
stima maggiormente sicura del grado di accuratezza raggiunto dai costruttori
della linea di coppelle dovremo selezionare valori di Q tali da raggiungre
un grado di probabilita' piu' elevato, quindi Q potrebbe risultare
sensibilmente maggiore di e(A*).
Significativita' e Probabilita'
Prendiamo ora in esame la linea di coppelle la cui "fuzziness" R sia stata
valutata mediante il metodo del minimo inviluppo rettangolare.
Sara' quindi (in maniera rigorosa):
R = atan(B/A)
in entrambe le direzioni.
Di fatto R rappresenta l'ampiezza del settore di orizzonte in cui il fascio
di N(N-1) direzioni individuate dalle N coppelle che compongono la linea, e'
orientato.
Definendo "p" la probabilita' che un allineamento definito da una qualsiasi
combinazione delle coppelle che compongono la linea individui casualmente
una ben precisa direzione astronomicamente significativa, con un grado di
fuzziness pari a R (in gradi), potremo scrivere:
p = R/360
Appare evidente che nel caso le coppelle siano distribuite in maniera
completamente disordinata, il minimo inviluppo rettangolare tendera' alla
forma quadrata con A=B, quindi la configurazione sara' casualmente
allineata con il 25% di probabilita' verso uno qualsiasi dei quattro settori
in cui possiamo dividere il cerchio dell'orizzonte astronomico locale; di
fatto non sara' allineata da nessuna parte.
Al contrario se una linea di coppelle risultera' ben allineata, il rapporto
B/A sara' piccolo quindi la probabilita' che la direzione individuata dalla
linea sia stata raggiunta casualmente sara' molto ridotta e sara' possibile
approssimarla mediante la semplice formula:
p ~ 0.16 (B/A + ...)
Facciamo un esempio.
La rosa di Carpene a Sellero in Valcamonica e' formata da due linee di 5
coppelle ciascuna allineate lungo la direzione Nord-Sud ed Est-Ovest.
La linea nord-sud e' racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari
con dimensioni A=60 cm e B=5 cm.
Il rapporto B/A vale 0.083 che conduce ad una "fuzziness" pari a 4.8 gradi;
tale quindi sara' l'ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
trovare il bersaglio dell'allineamento materializzato dalla linea di
coppelle diretta approssimativamente lungo la linea meridiana.
La probabilita' che la linea di coppelle abbia casualmente individuato quel
ben preciso settore di orizzonte vale p=0.013, quindi poco piu' dell'1%.
La linea est-ovest e' meglio allineata essendo racchiudibile in un inviluppo
rettangolare minimo pari con dimensioni A=58.5 cm e B=3.5 cm.
Il rapporto B/A vale 0.0598 che implica ad una "fuzziness" pari a 3.5 gradi;
tale quindi sara' l'ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
trovare il bersaglio dell'allineamento materializzato dalla linea di
coppelle diretta rozzamente lungo la linea equinoziale.
La probabilita' che la linea di coppelle est-ovest abbia casualmente
individuato quel ben preciso settore di orizzonte vale p=0.009, quindi poco
meno dell'1%.
Analisi globale
Prendiamo ora in esame il caso in cui la configurazione presente sulla
roccia preveda piu' di una linea di coppelle; nel caso della Rosa di Carpene
abbiamo M=2 linee che si incrociano e che sono orientate circa
ortogonalmente l'una rispetto all'altra.
Facciamo dapprima l'ipotesi che le due linee siano indipendenti tra di loro
quindi la probabilita' che entrambe le linee, nord-sud ed est-ovest, siano
casualmente allineate verso i rispettivi settori di orizzonte e' il prodotto
delle due probabilita' individuali, cioe':
P = p1 * p2
che numericamente porta al valore P=0.00012 cioe' allo 0.12%.
Esiste pero' il fatto che le due linee hanno in comune una coppella, quella
centrale e che esiste l'incisione curvilinea che stabilisce il profilo della
Rosa Camuna, fatti che ci indicano chiaramente che le due linee di coppelle
non potevano assumere direzioni indipendenti tra loro, ma dovevano mantenere
obbligatoriamente una configurazione a croce in modo da poter rappresentare
la figura nota come "Rosa".
In questo caso il calcolo della probabilita' che una figura quale quella
della Rosa di Carpene possa essere orientata come la rileviamo, assumendo
un grado di "fuzziness" pari a 4 gradi, solamente a causa di una
combinazione di fattori casuali e' valutabile mediante la relazione:
P(random) = 0.0028 R S
in cui S rappresenta il numero di simmetrie della configurazione.
Nel caso della Rosa abbiamo R~4 gradi, mentre essendo una croce a 4 bracci,
S=4.
Il calcolo ci fornira' 1 probabilita' su 22.5, cioe' pari al 4.4%, che il
petroglifo cosi' come e' stato rilevato sia posto casualmente con quella
orientazione.
A questo punto puo' essere utile ricordare che sulla grande roccia di
Carpene sono incise altre due "rose" che risultano orientate in modo
concorde con la "rosa grande".
La tabella seguente riepiloga gli azimut astronomici di orientazione
rilevati sulla roccia il 21 Giugno 2000.
Riepilogo delle orientazioni dei bracci delle tre rose camune
Azimut Astronomici (gradi) lungo le direzioni indicate
S->N N->S E->W W->E Note
Rosa A 352.5 172.5 276.1 96.1 Rosa grande
Rosa B 359.6 179.6 270.8 90.8
Rosa C 353.7 173.7 266.4 86.4
Appare subito evidente che la concordanza tra gli azimut avviene entro un
intervallo dai 7 ai 9 gradi circa.
Assumiamo un grado di "fuzziness" media pari a 8 gradi e calcoliamo la
probabilita' che le tre "rose" risultino casualmente orientate in maniera
concorde entro un grado di "fuzziness" pari a R=8 gradi.
Tale probabilita', essendo le tre "rose" dei petroglifi indipendenti l'uno
dall'altro, sara' valutabile secondo la seguente relazione, in cui R=8
gradi, S=4 (poiche' sono croci a 4 bracci) e n=3 (rose):
n
P(random) = (0.0028 R S)
Il calcolo fornisce: P(random)=0.0007 vale a dire 1 probabilita' su 1424 che
le tre rose incise sulla grande roccia di Carpene siano orientate
casualmente nel modo che e' stato rilevato, cioe' con una concordanza di 8
gradi nella direzione dei loro assi.
Va ora rilevato che le tre "rose" sono incise sulla stessa roccia a poca
distanza l'una dall'altra, quindi potremmo anche ipotizzare che l'incisore
di 2 dei 3 petroglifi si possa essere basato sull'orientazione di uno gia'
tracciato precedentemente in loco.
A questo punto il nostro problema diventa in termini statistici il seguente.
<>.
Riscriviamo ora il nostro problema in un linguaggio piu' appropriato alla
situazione attuale:
<>.
La risposta a questa domanda e' immediata.
Infatti la distribuzione di probabilita' che si adatta perfettamente a
questa situazione e' quella di Bernoulli detta anche Binomiale:
x (n-x)
P(x) = C(n,x) p (1-p)
in cui C(n,x) e' il coefficiente binomiale:
n!
C(n,x) = ---------
x! (n-x)!
La media e la deviazione standard pertinenti a questa distribuzione di
probabilita' sono i seguenti:
Media: m = n p
1/2
Deviazione Standard: s = (n p (1-p))
dove: p = 0.0028 R S.
A questo punto, essendo le "rose" in numero di 3, abbiamo che la
distribuzione Binomiale ha media m=0.27 e deviazione standard pari a 0.49,
inoltre sono possibili tre casi:
a) una sola delle 3 rose e' orientata casualmente verso la direzione
rilevata, con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
In questo caso: p=0.09, n=3 e x=1, allora P(1)=0.22, vale a dire che
abbiamo il 22% di probabilita' che una delle tre "rose" sia orientata a
caso in maniera concorde con le altre due.
b) 2 delle 3 rose sono orientate casualmente verso la direzione rilevata,
con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
In questo caso: p=0.09, n=3 e x=2, allora P(1)=0.022, vale a dire che
abbiamo il 2.2% di probabilita' che 2 delle 3 "rose" siano casualmante
orientate in maniera concorde tra loro e con la terza.
c) Tutte le 3 rose sono orientate casualmente verso la direzione rilevata,
con un grado di "fuzziness" pari a 8 gradi.
In questo caso: p=0.09, n=3 e x=3, allora P(1)=0.0007, che e' il valore
trovato in precedenza nel caso di tre petroglifi indipendentemente
orientati, vale a dire 1 su 1424.
Alla luce di questi risultati ci sentiamo autorizzati ad affermare che le
tre "rose" incise sulla grande roccia di Carpene a Sellero non furono
incise casualmente nel modo rilevato, ma con elevata probabilita'
l'orientazione fu deliberatamente stabilita entro un margine di errore di
8 gradi che potremmo inputare al grado di abilita' degli incisori oppure ad
altri fattori di difficile quantificabilita'.
